Mathematische Frühförderung

Nächster Kursbeginn: Beginn Oktober 2011

„ Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“
(nach dem Konzept von J.S. Kressel)

Bei dem 4-monatigem Kurs im Rahmen der mathematischen Frühförderung
begeben wir uns mit jeweils vier 5 - 7-jährigen Kindern
auf eine fantasievolle Reise in die Zahlenwelt,
um systematisch das entscheidende Fundament zum Verständnis der Grundschulmathematik,
die „frühe Mengen- und Zahlkompetenz“,
zu entwickeln.

Mathematische Frühförderung

4-monatiger Grundlagenkurs für 5 - 7-jährige Kinder

zum Aufbau

„früher mathematischer Grundfertigkeiten“
und
zur Schulfähigkeit notwendiger allgemeiner Fertigkeiten

Ein Förderkonzept für:

- einen gelungenen Schulstart
- gute Rechenleistungen durch die Heranführung an verstehendes „denkendes Rechnen“

- Freude an Mathematik

Zur Prävention von:

- Zählendem Rechnen

- Problemen mit den Grundrechenarten
- Rechenstörungen( Rechenschwäche / Dyskalkulie)



Vielen Kindern fehlt heute bei Schulbeginn die „Frühe Mengen- und Zahlkompetenz“, und damit das entscheidende Fundament, zum Verständnis der Grundschulmathematik.

Der Grundlagenkurs findet 2 x jährlich statt: 

1. Kurs jeweils:
Februar/März bis Mai/Juni

- 2. Kurs jeweils: nach den Oktoberferien bis Anfang Januar

- 10 Sitzungen zu je 3 Zeitstunden
(vor Schulbeginn oder während der 1. Klasse)

- am Samstag-Vormittag
(11.00 – 14.00 Uhr)

- in den Unterrichtsräumen des Lernstudios Schlaufuchs

- in einer Kleingruppe von 4 Kindern im Alter von 5 - 7 Jahren

- Kosten pro Stunde: 10,- € (Kurs: 300,00 €)


Mit vielen, Aktivitäten an altersgemäßem, strukturiertem Anschauungsmaterial, mit Liedern, und mit Zahlenmärchen baut sich bei Kinder während des Kurses folgendes spielerisch auf:

- der Mengen- und Zahlbegriff der Anzahlen im Basiszahlbereich
- das blitzschnelle Erfassen von Mengen „auf einen Blick“
- die Fähigkeit Mengen bzgl. Ihrer Mächtigkeit zu vergleichen im Sinne von „ gleich viel“, „mehr“ oder „weniger“
- erste Zahlzerlegungen

- ein „mathematischer Grundwortschatz“ passend zu diesen Fertigkeiten
- Muster (Folgen) erkennen und fortsetzen zu können
- Mathematik als erfreulich, wertvoll und verständlich erlebt zu haben

Zusätzlich werden die Wahrnehmung, die Feinmotorik, die Konzentration, und die Problemlösefähigkeit mit verfeinert.

Wie findet mathematische Frühförderung statt und was kann sie bewirken?

Die Verstehensgrundlagen für mathematische Fragestellungen werden in der frühen Kindheit erworben. Wie junge Kinder Mathematik erfahren und welche Vorläuferfähigkeiten sie zum Schulbeginn bereits aufgebaut haben, ist daher prägend für ihre spätere Kompetenz und Einstellung gegenüber der Mathematik.

Die beste Frühförderung in der Mathematik besteht darin, diese Wissenschaft als das erfahren zu lassen, was sie ihrem Wesen nach ist, nämlich eine Wissenschaft von Mustern, Regeln und Gesetzmäßigkeiten.

Der Kurs „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ in der Zahlenschule der Schlaufüchse bietet den Kindern neben vielem andern auch Zahlenmuster (Anzahlbilder) und geometrische Muster zur aktiven Erforschung an.

Konkrete Muster und Strukturen bilden die unerlässliche Grundlage für die abstrakten mathematischen Strukturen, denen die Kinder vom Unterricht der 1. Klasse an bis einschließlich zur Berufsbildung begegnen.

Zahlen und Formen sind keineswegs nur eine Sache des Kopfes, sondern hängen eng mit motorischen Erfahrungen und Emotionen zusammen.

Die Aktivitäten im Kurs beziehen alle Sinne des Kindes mit ein.
Die zur häuslichen Übung herausgegebenen Materialien sollen den Eltern Hilfestellung geben, dieses auch zu Hause angemessen weiter zu fördern.

Kinder im Vorschulalter gehen mit Einfallsreichtum, Offenheit, Interesse, Neugier und Lernfreude grundlegenden mathematischen Aktivitäten nach.

Sie vergleichen, ordnen, sortieren, zählen, teilen ein, erkennen und erfinden Muster.

Diesen natürlichen Zugang zur Mathematik finden Kinder normalerweise in ihrer alltäglichen Umwelt. Eine veränderte Kindheit vor der Einschulung führt heute jedoch zunehmend zu einer nicht mehr ausreichenden Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten. Der natürliche Zugang kann aber durch vorbereitete Lernumgebungen zu Hause oder in einer außerschulischen Förderung gezielt unterstützt werden.

Dabei werden durch aktiv handelnden Umgang mit Materialien und Lerngegenständen

• Interessen geweckt,

• Vorerfahrungen vertieft,
  
• Fragen eröffnet
  
• Beziehungen entdeckt,
  
• Schlussfolgerungen gezogen,
  
• Voraussagen getroffen.
  
  
  Der Kurs „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ in der „Zahlenschule der Schlaufüchse ermöglicht Kindern eine aktive, spielerische Aus­einandersetzung mit mathematischen Inhalten, indem die Kinder die unterschiedlichen Zahlaspekte ganzheitlich in fantasievollen Zusammenhängen über Aktivitäten, Lieder, Geschichten, Spiele und Übungen am PC erkunden.
  
  
  - Abwechslungsreiche Aufgaben fördern und fordern das mathematische Denken.
  
  
  - Die Kinder gewinnen Freude an der Auseinandersetzung mit Mathema­tik.
  
  
  - Die Kinder sammeln Erfahrungen mit mathematischen Strukturen.
  
  
  
  Um einen die gesamte Schulzeit über tragfähigen Zahlbegriff aufbauen zu können, finden folgende aufeinander aufbauende Sachstrukturelemente Berücksichtigung:
  
  
  1. Benennen und Verstehen von Eigenschaftskategorien
  (Form, Größe, Farbe)
  
  
  2. Beurteilen von Mächtigkeitsrelationen
  
  
  3. Konstanz der Gleichmächtigkeit von Mengen
  (Invarianz, Repräsentanz)
  
  
  4. Mengen- und Zahlanalyse
  (Inklusion, Seriation)
  
  
  5. Zahl als Klassenbegriff
  (Klassifikation)
  
  
  6. Zahl als Beziehungsbegriff
  (Beziehungszahl-Aspekt)
  
  
  

Warum ist bei der Frühförderung auch die Raum-Lage-Orientierung und Geometrie wichtig?

Die moderne Hirnforschung hat gezeigt, dass das Denken in zwei Bereichen erfolgt, die in unterschiedlichen Teilen des Gehirns lokalisiert sind:

• Der eine Bereich ist auf den regelhaften Umgang mit Zeichen- und Symbolsystemen ausgerichtet, dazu gehören die Zahlensymbole.
  
• Der andere Bereich befasst sich mit der visuellen Wahrnehmung und Verarbeitung von Bildern, Linien, Flächen und Körpern im Raum.

In diesen Bereich gehören die geometrischen Formen, aber auch die Vor­stellungsbilder von Anzahlen, wie z.B. die Mengen-Bilder-Bausteine, Würfel-Bilder, Finger-Bilder, Strich-Bilder u.a..

Damit das mathematische Denken schon vor der Schule in seiner vollen Breite ge­fördert wird, erfolgen im Kurs „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ ne­ben vielfältigen Aktivitäten mit Zahlen auch viele Übungen zur Raumorientierung sowie auch mit geometrischen Formen.

Der Kurs „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ beinhaltet anregende, elementare Aufgaben aus folgenden Bereichen der Mathematik:

A. Geometrische Grundvoraussetzungen

1. Sehen und Vorstellen (Visuelle Wahrnehmung)
2. Raumerfahrung und Orientierung
3. Flächen und Körper

4. Ziffernschreibkurs als erste geometrische Übung


B. Grundlegende mathematische Fertigkeiten

1. Ordnen
2. Sortieren
3. Vergleichen


C. Zählen und Zahlen - Anzahlerfassung


D. Zerlegbarkeit von Anzahlen

Zusammensetzten und Zerlegen von Zahlen auf der Anzahlbildebene

a. über den handelnden Umgang mit Anzahlbildkarten
b. mit Legematerial beim Einrichten der Zahlenwohnungen
c. über Übungen an einem PC-Programm
d. auf Arbeitsblättern



E. Teil-Teil-Ganzes- Konzept - Zahlen als gegliederte Quantitäten

Einführung in das Teil-Teil-Ganzes-Konzept auf der Rechentafel

Erstes Arbeiten mit Zahlentripeln



F. Hinführung zur systematischen Erarbeitung aller Zahlzerlegungen
im Zahlenraum bis 10


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Detaillierte inhaltliche Darstellung der Aufgabenbereiche A - F


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A. Geometrische Grundvoraussetzungen



Vielfältige geometrische Erfahrungen sind eine wichtige Grundlage

- für das Zurechtfinden in der eigenen Umgebung und

- für das mathematische Lernen im Allgemeinen.





A 1. Sehen und Vorstellen (Visuelle Wahrnehmung)



a. Visumotorische Koordination
(das Sehen mit den Bewegungen des Körpers koordinieren)

b. Figur-Grundwahrnehmung
(aus einer Vielzahl von Reizen den für die Situation wesentlichen herausfiltern)


c. Visuelles Speichern
(Visuelle Wahrnehmung verinnerlichen und im Gedächtnis verankern)


d. Visuelles Operieren
(In Gedanken Handlungen mit visuell Wahrgenommenem ausführen, verändern und verallgemeinern können)




A 2. Raumerfahrung und Orientierung



Die Entwicklung der Raumvorstellung ist ein sehr komplexer Vorgang.

Grundvoraussetzung dafür ist,

dass das Kind seinen eigenen Körper detailliert wahrnimmt und

Lagebeziehungen am eigenen Körper erfasst.


Später durchdringt das Kind seine Umwelt durch das Erkennen räumlicher Beziehungen.
Es orientiert sich dabei,

indem es Gegenstände in Bezug zum eigenen Körper wahrnimmt
(„Der Ball liegt vor mir.“),

Gegenstände zueinander in Beziehung setzt
(„Der Ball liegt neben dem Tisch.“),

indem es sich bewusst im Raum bewegt
(„Ich gehe nach rechts, dann komme ich zu … .“).

indem es lernt einen Perspektivwechsel vorzunehmen und sodann den Blick aus unterschiedlichen Perspektiven unterscheiden kann.





A 3. Flächen und Körper



Damit das Kind seine Umwelt nach unterschiedlichen Gesichtspunkten ordnen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede entdecken kann, müssen geometrische Begriffe erlernt werden (dick – dünn, lang – kurz, hoch – flach, rund, dreieckig, viereckig u.a.).



A 4. Ziffernschreibkurs als erste geometrische Übung



Das Kind lernt zunächst geometrische Formen (Bogen, Ecke, Linie, Haken, …) und Lagebeziehungen (senkrecht, von rechts, nach unten, …) zu beschreiben.

Das Kind muss, um Verwechslungen und damit Fehler durch ungenaue Schreibungen zu vermeiden, eine formklare und seitenrichtige Schreibung der Zahlsymbole 0 - 9 erlernen.


Darüber hinaus ist es für das Kind notwendig, um nicht durch zu hohe Nach­denkkapazitäten über die Schreibung der Zahlsymbole die allgemeine Auf­merksamkeit zu schmälern, eine automatisierte und bewegungsökönomische Schreibung zu entwickeln.


Beim Erlernen der Ziffernschreibung wird der verbindliche Bewegungsablauf zunächst durch das Mitsprechen der Richtungen und Formen bewusst gemacht und durch Ganzkörperbewegungen zusätzlich im Gehirn verankert.





B. Grundlegende mathematische Fähigkeiten



Um sein alltägliches Leben bewältigen zu können, sind für jedes Kind folgende mathematische Fähigkeiten grundlegend wichtig:

o Handlungsabläufe strukturieren können

o Gegenstände nach ihren Eigenschaften klassifizieren können

o Mengen als abstrakte Größen erfassen können

o Mengen hinsichtlich ihrer Anzahl vergleichen können



B 1. Strukturierung des Denkens (klassifizieren und ordnen)


a. Über vergleichende Fragen werden Abhängigkeiten zwischen Begriffen herausgearbeitet.
b. Vergleiche und Unterschiede werden über Eigenschaften (Form, Farbe, Größe, Material u.a.) festgemacht.
c. Beim Klassifizieren wird eine Beziehung zwischen einem Ober- und einem Unterbegriff hergestellt.

Die Kinder sollen zum Beispiel
- aus einer Reihe von Gegenständen ein nicht-passendes Objekt herausfinden und ihre Auswahl begründen können,
- zusammengehörige Objekte gruppieren und den Oberbegriff dazu nennen können.



B 2. Serialität (sortieren, Reihen und Muster legen)



Erfahrungen zur Serialität sind wichtig beim Aufbau von Zahlenreihen und für das Verstehen von Richtungen und Reihenfolgen in einem Zahlenraum. Sie sind Voraussetzungen, um logische Schlüsse zu ziehen und Wenn-dann-Relationen zu verstehen.



a. Kinder müssen das Gefühl für Zeitabläufe erst entwickeln.
b. Sie müssen den Ablauf einer Handlung (zuerst – dann – zuletzt) erst erlernen.

c. Solche serialen Fähigkeiten sind eine Voraussetzung für die Entwicklung mathematischen Denkens, denn gedachte und auszuführende Handlungen müssen stets der Reihe nach geschehen.


Seriale Fähigkeiten werden erworben und geübt, indem die Kinder
- Bilder entsprechend dem Zeitablauf einer Handlung ordnen,

- konkrete Gegenstände nach einem Muster aufreihen,
- Muster und Reihen immer wieder erkennen und fortsetzen üben

- Handlungen nach Vorschrift ausführen.





B 3. Vergleichen



Das Kind erlernt, Objekte nach quantitativen Merkmalen zu vergleichen.


Es soll dabei Begriffe wie „mehr, weniger, gleich viel, am meisten, die wenigsten …“ zu verwenden lernen.

Die Vergleiche sollen durch

Ø Schätzen,

Ø Eins-zu-eins-Zuordnung,

Ø Abzählen

vorgenommen werden können.


Die Kinder lernen Gleichmächtigkeit und Unterschiede zu erkennen und sprachlich darzustellen.


Bis zu einem Unterschied von 3 Elementen lernen sie auch zu benennen, wie viele Elemente mehr die eine Menge und im Umkehrschluss auch zu bestimmen, wie viele Elemente weniger die andere Menge hat.



a. Eins-zu-eins-Zuordnung


Kinder müssen Mengenvergleiche nichtzählend über eine Eins-zu-eins-Zuordnung herstellen können. Sie müssen dabei einem Objekt der einen Menge genau ein Objekt der anderen Menge zuordnen können.

Solche Aufgaben lassen sich vielfältig im Alltag finden:


Beispiele:

- Beim Tischdecken: „Hole genauso viele Teller, wie Stühle am Tische stehen!“

- Sortieren von Schrauben und Muttern: „Lege zu jeder Schraube eine Mutter! Sind es mehr Schrauben als Muttern oder haben wir genauso viele Muttern wie Schrauben?“


b. Anschließend muss erlernt werden, solche Eins-zu-eins-Zuordnungen in Verbindung mit Zahlwörtern zu bringen.


c. Erkennen von Invarianz



Das Kind muss erkennen lernen, dass die Mächtigkeit einer Menge gleich bleibt, auch wenn sich die räumliche Anordnung oder Ausdehnung ändert.


Beispiel: - Umschütt-Versuche
- mit gleicher Stein-Anzahl verschiedene Muster legen
- Ausdehnung bereits verglichener Elemente (besonders einsichtig bei Luftballons)





C. Zählen und Zahlen - Anzahlbestimmung



Eine Anzahl von Objekten kann auf dreierlei Weise bestimmt werden:



1. durch Zählen

2. durch simultane Anzahlerfassung

3. durch teil-komplexe Anzahlerfassung
(Untergliederung in Teilmengen)

4. durch Wiedererkennen abgespeicherter Vorstellungen von Anzahl­bildern



Zu 1.: Bei der Förderung der Zählfähigkeit ist die Unterscheidung folgender Bereiche wichtig:



a. Zahlwortreihen

b. Zählen von Objekten

c. Kardinales Zahlverständnis



Das Zählen im Sinne des Erfassens der Mächtigkeit (der Anzahl der Objekte) einer Menge erfolgt nach den folgenden 5 Zählprinzipien:



1.) Eindeutigkeitsprinzip (Jedem der zu zählenden Elemente/ Objekte einer Menge wird genau ein Zahlwort zugeordnet.)


2.) Prinzip der stabilen Ordnung (Die Reihe der Zahlwörter hat eine feste Ordnung.)


3.) Kardinalzahlprinzip (Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl der Elmente einer Menge an.)


4.) Abstraktionsprinzip (Es kann jede beliebige Menge gezählt werden. Es kommt nicht auf die Art der Elemente an, die gezählt werden sollen.)


5.) Prinzip der Irrelevanz der Anordnung (Die Anordnung der zu zählenden Elemente hat keinen Einfluss auf das Zählergebnis.)



Die Entwicklung der Zählfähigkeit erfolgt laut Prof. K. Hasemann in 5 aufeinander aufbauenden Phasen:



Phase 1 Verbales Zählen

Mit ca. 3 Jahren beginnen die Kinder die Zahlwortreihe wie ein Gedicht aufzusagen, ohne dass ihnen bewusst ist, dass hinter einem Zahlwort auch die Mächtigkeit einer Menge steckt. Daher kann die Zahlwortreihe auf dieser Stufe noch nicht zum Zählen benutzt werden.



Phase 2 Asynchrones Zählen

Mit etwa 3 ½ - 4 Jahren benutzen die Kinder zwar die Zahlworte in der richti­gen Reihenfolge, sind aber noch nicht in der Lage, auf ein Objekt zu zeigen und das entsprechende Zahlwort dazu zu nennen.

So kommt es vor, dass sie häufig ein Objekt übersehen oder Elemente mehrmals zählen.



Phase 3 Ordnen der Objekte während des Zählens

Ab ca. 4 ½ Jahren beginnen Kinder, die Objekte während des Zählens zu ordnen. Dies geschieht z.B. dadurch, dass bereits gezählte Objekte zur Seite geschoben werden.



Phase4 Resultatives Zählen
Mit ca. 5 Jahren wird den Kindern bewusst, dass
- sie beim Zählen mit der Eins beginnen müssen,
- jedes Objekt nur einmal gezählt wird,
- die letztgenannte Zahl die Anzahl der Objekte angibt.


Phase 5 Abkürzendes Zählen

Von 5 ½ - 6 Jahren an erkennen oder bilden Kinder in ungeordneten Mengen von Objekten Strukturen und können von einer beliebigen Zahl aus aufwärts zählen.

Zusätzlich können die meisten Kinder in diesem Alter bereits einfache Rechnungen ausführen.



Im Kurs „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 – 10“ üben die Kinder das Vorwärtszählen im Zahlenraum (=ZR) 0 - 20, das Rückwärtszählen im ZR 0 - 10, die Bestimmung von Vorgänger und Nachfolger im ZR 0 - 10 sowie alle 5 Zählprinzipien





Zu 2.: Die simultane Anzahlerfassung von bis zu 5 Elementen wird durch das selbstständige Herstellen der vier verschiedenen Anzahlbilder (Mengen-Bilder-Bausteine = MBB, Würfelbilder, Strichbilder und Fingerbilder) mit Legematerial und regelmäßige Blitzblickübungen geschult.



Zu 3.:Die Anzahlen 6 - 10 lernen die Kinder teilkomplex zu erfassen über die Anzahlbild-Darstellungen in der Form „5 + x“, basierend auf der Kraft der Fünf.



Zu 4.: Der Aufbau gesicherter Vorstellungsbilder von Anzahlen bis 10 erfolgt durch vielfältige Übungen mit 6 verschiedenen Anzahlbildern (zu den vier unter 2. genannten kommen noch die Steckwürfelstangen im Zehnerraster und die Rechenwürfelbilder hinzu). Durch unterschiedlichste Übungen und Spiele mit den „Anzahlbild-Karten“ sowie das eigenständige Herstellen dieser Anzahlbilder mit Legematerial lernen die Kinder zusätzlich auch flexibel mit diesen Vorstellungsbildern operieren zu können, was eine sichere Vorbeugung gegen das „Zählende Rechnen“ ist.

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D. Zerlegbarkeit von Anzahlen



Die Kinder erkennen in vielfältigen Spielen mit den Anzahlbildkarten und beim selbstständigen Herstellen der 6 Anzahlbilder mit diversem Legematerial, dass Anzahlen aus Teilmengen zusammengesetzt werden können.

Die Kinder gelangen dadurch selbst zu der Erkenntnis,
- dass Anzahlen andere Anzahlen enthalten,
- dass Anzahlen in Teilmengen zerlegt werden können und
- dass Anzahlen aus anderen Anzahlen zusammenzusetzen sind.


Durch die Arbeit mit den 6 verschiedenen Anzahlbildern (Würfelbilder, Strichbilder, Fingerbilder, Mengen-Bilder-Bausteinen = MBB, Steckwürfelstangen und Rechenwürfelbilder), bei denen die Darstellungen der Anzahlen 6 - 10 bis auf die MBB alle auf der „Kraft der Fünf“ basieren, erfahren die Kinder zusätz­lich die Anzahlen 6 -10 als aus 2 Teilmengen zusammengesetzt ( 6 als 5 + 1, 7 als 5 + 2, …).


Beispiele aus der Kursarbeit:




- Ein Kind bearbeitet mögliche Zerlegungen des 6ers am PC mit der Software „Budenberg Lernprogramme Mathematik“ (Lernprogramm: Mathe 1 > Zerlegen > „Zerlegen 6“) dabei begleitet es sein Tun z.B. mit den Worten: „Diesen 6er zerlege ich in einen 3er und noch einen 3er! Den nächsten zerlege ich in einen Einer und einen 5er!“



- Beim MBB-Angeln und MBB–Würfeln wird eine bestimmte Anzahl aus kleineren bereits geangelten oder erwürfelten Mengen-Bilder-Bausteinen zusammengesetzt.
Ein Kind benennt beim 5er-Angeln z.B.:

„Ich kann aus meinen geangelten MBB vier 5er bauen. Einen aus einem 3er und einem 2er, einen aus zwei 2ern und einem 1er, einen aus einem 2er und drei 1er und einen aus fünf 1ern.“

Ein Kind probiert beim MBB-Würfeln aus, welche Menge es aus zwei erwürfelten Bausteinen zusammensetzen kann: „Ich habe einen 3er und einen 2er gewürfelt. Mal sehen, was ich daraus bauen kann. Oh, das gibt einen 5er!“



- Beim Einrichten der Zahlenwohnungen mit „Möbeln“
(„die Möbel“, sind verschiedene Materialien wie z.B. Hölzchen, Steckwürfel, Wendeplättchen etc. . Sie werden beim Einrichten jeweils in einer bestimmten Anzahlbildform wie z.B. Strich-Bilder, Würfel-Bilder, MBB-Form usw. gelegt)

Ein Kind ruft dabei z.B.: „Die Sieben hat für ihr Strich-Bild schon die Holzstäbchen von der Fünf bekommen. Jetzt fehlen ihr also noch die von der Zwei!“







E. Teil-Teil-Ganzes-Konzept - Zahlen als gegliederte Quantitäten
(von der kardinalen zur relationalen Zahlverwendung)


Die Einführung in das Teil-Teil-Ganzes-Konzept mit der Rechentafel eröffnet den Kindern erste Einsichten in die Zahlbeziehungen.



Um abstrakte relationale, Beziehungen zwischen Zahlen beschreiben zu kön­nen, wie z. B. „den Unterschied zwischen zwei Zahlen“ bestimmen zu können, muss das Kind zum Einen die Zahl als kardinalen Repräsentanten einer Menge verwenden können und zum Anderen das Teil- Teil-Ganzes-Konzept verstanden haben.



Wenn das Kind die Mächtigkeit von Zahlen berücksichtigt und die Beziehung zwischen zwei Zahlen erkannt hat, es dann z. B. benennen kann: „Vom 4er zum 6er kommt noch ein 2er dazu!“(oder „Der 6er hat 2 mehr als der 4er!“), somit auch sagen kann: „Der Unterschied zwischen einem 4er und einem 6er ist ein 2er!“ (später kürzer: „Der Unterschied zwischen 4 und 6 beträgt 2!“), so verwendet es die Zahl 2 relational, zur Bezeichnung einer Zahlbeziehung.


Wer 4 und 6 nur ordinal als (Haus-) Nummern versteht, ohne sich deren Mächtigkeit bewusst zu sein, würde den Unterschied zwischen zwei Zahlen eher im Aussehen der Zahlsymbole (Ziffern) als in deren Mächtigkeit suchen.



Die Entwicklung des Wissens über Beziehungen zwischen Mengen wird in der mathematikdidaktischen Fachliteratur (Gerster 2003, Resnick 1983, Jansen 2003) als der bedeutsamste Schritt in der Entwicklung des mathematischen Verständnisses bewertet.



1.) Wenn Kinder verstanden haben, dass Zahlen aus anderen Zahlen zusammengesetzt sind und in unterschiedliche Teilmengen zerlegt werden können, ohne dass man dabei ihre Mächtigkeit verändert (7 = 5 + 2 oder 7 = 3 + 4 oder aber z.B. auch 7 = 6 + 1), wenn sie Zahlen nicht län­ger im Sinne fester quantitativer Einheiten sehen, dann wird es ihnen z.B. auch möglich das Kommutativgesetz (Tauschaufgaben) zu verstehen (7 = 5 + 2 kann zu 7 = 2 + 5 vertauscht werden) und auch effektive Rechen- bzw. Zerlegungsstrategien wie z.B. 5 + 7 = 5 + 5 + 2 selbstständig anzuwenden, was z.B. für den verstehenden Umgang mit dem Zehnerübergang unerlässlich ist.


Diese Erkenntnis, deren Erreichen sich weit in die Grundschulzeit hineinzieht, ermöglicht den Kindern erst einen flexiblen Umgang mit Zahlen beim Lösen von Rechenaufgaben.


2.) Die spielerische Arbeit mit konkreten Legematerial (Wendeplätt­chen, Holzstäbchen, Steckwürfeln, MBB) auf der Rechentafel ermöglicht den Kindern die Tripel-Struktur von Additions- und Subtraktionsaufgaben zu erkennen.


Alle Additions- und Subtraktionsaufgaben haben eine dreigliedrige (tria­dische) Grundstruktur (Teil-Teil-Ganzes)


Auf der Rechentafel erkennen die Kinder das Teil-Teil-Ganzes Konzept, welches die Beziehungen zwischen den Zahlentripeln spezifiziert.



Bsp.:



Im Zahlentripel 5 - 3 - 8 ist 8 das Ganze und 5 und 3 sind Teile.


Die Kinder lernen durch das Lösen mit Legematerial auf der Rechentafel von Anfang an, dass diese Teil-Teil-Ganzes-Beziehung bestehen bleibt, egal welche der 24 folgenden Aufgabenstellungen vorgegeben ist.

5 + 3 = ? 3 + 5 = ? 3 + ? = 8 ? + 5 = 8 5 + ? = 8 ? + 3 = 8 Plusaufgaben in bekannter Form mit dem Ergebnis „hinten“ (rechts)

oder

? = 5 + 3 ? = 3 + 5 8 = 3 + ? 8 = ? + 5 8 = 5 + ? 8 = ? +3

ungewohntere Form von Plusaufgaben mit dem Ergebnis „Vorne“ (links)

und

8 - 5 = ? 8 – 3 = ? 8 - ? = 5 8 - ? = 3 ? – 5 = 3 ? – 3 = 5

Minusaufgaben in bekannter Form mit dem Ergebnis „hinten“ (rechts)

oder

? = 8 - 5 ? = 8 - 3 5 = 8 - ? 3 = 8 - ? 3 = ? - 5 5 = ? - 3

ungewohntere Form von Minusaufgaben mit dem Ergebnis „vorne“



3.) Indem von Anfang an Plus- und Minusaufgaben gleichzeitig behandelt und auf der Rechentafel durch Legen mit Anzahlmaterial gelöst werden entwickelt das Kind schon früh Verständnis für die Tausch- und Umkehraufgabenbeziehungen und lernt, dabei aus den 3 Zahlen eines Zahlentripels immer gleich 2 Plus- und 2 Minusaufgaben bilden zu können. (Vielen Schülern, die herkömmlich unterrichtet werden, indem Plus- und Minusaufgaben zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingeführt und bearbeitet werden, erscheinen Minusaufgaben häufig viel schwerer als Plusaufgaben da sie selten die Beziehung zwischen beiden erkennen und so z. B. eine „schwere Minusaufgabe“ auch nicht aus einer ihnen bekannten Plusaufgabe ableiten.)



4.) Werden dann wie oben beschrieben noch Aufgaben mit Leerstellen an allen möglichen Stellen und Aufgabenterme bei denen das Ergebnis einmal rechts und einmal links vom Gleichheitszeichen steht, vorgegeben und handlungsorientiert mit Legematerial auf der Rechentafel gelöst, so lernt das Kind Aufgabentypen, mit Leerstellen und Aufgaben bei denen „das Ergebnis vorne steht“ (die den Schülern sonst zumeist sehr schwer fallen), von Anfang an zu verstehen.



Das Kind erwirbt durch das Vorgeben unterschiedlichster Aufgabenstellungen zu ein und demselben Zahlentripel schnell eine für das spätere zügige Kopfrechnen wichtige operative Flexibilität.



Aufgaben mit unbekannter Anfangsmenge bleiben für Schüler ohne ein Verständnis des Teil-Teil-Ganzes-Zusammenhangs meist unlösbar.





F. Hinführung zur systematischen Erarbeitung aller Zahlzerlegungen im Zahlenraum bis 10


Weiterführend können zu Hause alle Zahlzerlegungen der Zahlen bis 10 systematisch erarbeitet werden mit Hilfe des Legematerials „Mengen-Bilder-Bau­steine“ und „Anzahlstangen“ (siehe Band 2: Arbeitsmittel des Grundlagen- und Förderkurses „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“) und der Arbeitsblätter zur handelnden Erarbeitung aller Zahlzerlegungen der Zahlen bis 10 über die Rechentafel (siehe Band 3: Arbeitsblätter).

In den Umgang mit diesen Aufgabenstellungen und Arbeitsblättern werden die Kinder gegen Kurs-Ende eingeführt.




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Das „Drei Säulen Modell“ des Aufbaus mathematischer Verständnis-grundlagen



P. Jansen zeigt indem von ihm entwickelten „Drei-Säulen-Modell“ (siehe dazu Matinko, Peter Jansen 2008), den Zusammenhang auf von der Möglichkeit des Aufbaus tragfähiger mathematischer Verständnisgrundlagen und dem dafür bei Schulbeginn aber zwingend nötigen Vorhandensein eines speziellen Fundaments an Vorläuferfähigkeiten.



Jansen stellt im „Drei Säulen Modell“ den Aufbau der mathematischen Verständnisgrundlagen wie ein Haus dar.


Das Fundament bilden Wahrnehmungs- und Koordinationsfähigkeiten sowie mathematische Vorläuferfähigkeiten, wie Sortieren, Gruppieren, Vergleichen und Zählen.

Auf diesem Fundament stehen dann drei Säulen, die die Zahlverwendungsarten darstellen.

Der Aufbau mathematischer Verständnisgrundlagen entwickelt sich in Kompetenzstufen, die von der Art abhängen, in der wir Zahlen verwenden.


In seiner Entwicklung eignet sich das Kind
- zuerst die ordinale Zahlverwendung (Zahl als Position auf dem Zahlenstrahl oder (Haus-) Nummer),
- dann die kardinale Zahlverwendung (Zahl als Repräsentant einer Menge),
- zuletzt erst die relationale Zahlverwendung (Zahl als Beziehung zweier Zahlen, als Unterschied zwischen zwei Zahlen) an.


Erst wenn das Kind in der Lage ist die Zahl in diesen drei unterschiedlichen Bedeutungen zu nutzen, verfügt es über die notwendigen Voraussetzungen, um die Multiplikation und Division, die das Dach des Hauses im „Drei Säulen Modell“ bilden, ihrem Gehalt nach verstehen zu können.



Dieses „Drei Säulen Modell“ wurde von J. S. Kressel weiter entwickelt und ausdifferenziert. Im Handbuch des Grundlagen- und Förderkurses „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ finden sich zur genauen Absicherung der für jede mathematische Grundkompetenz notwendigen vorlaufenden Einsichten und Fertig­keiten, drei fein differenzierte Kompetenzraster (siehe Band 1, S. 34 - 35).



Nach Markierung in diesen Kompetenzrastern, welche Einsichten erreicht und welche Fertigkeiten vorhanden sind, wird dort für Eltern, Erzieher, Lehrer und Therapeuten übersichtlich deutlich, was es beim Kind für die nächsten Schritte in der Entwicklung des mathematischen Verständnisses noch aufzubauen und zu bearbeiten gilt, bis

- es bei Schulbeginn dem Unterricht verstehend folgen kann

- im 100er-Raum verstehend gerechnet werden kann und

- die Multiplikation und Division verstehend erlernt werden kann.



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Entwickelte Vorläuferfähigkeiten bei Schulanfang als Garant für schulischen Erfolg





Den frühen mathematischen Kenntnissen oder Vorläuferfähigkeiten kommt also, wie man heute definitiv weiß, eine ganz entscheidende Bedeutung für die Entwicklung späterer schulischer Leistungsfähigkeit in Mathematik zu.



Von folgenden Fähigkeiten kann, inzwischen empirisch belegt, angenommen wer­den, dass sie vorhanden sein müssen, wenn die Schule erfolgreich absolviert werden soll:



- Seriation

- Mengenvergleich

- Erkennen von Invarianz

- Operieren mit Eins-zu-Eins-Zuordnungen

- Zahlenwissen (Kenntnis der Zahlbilder bis 10, Zuordnung von Zahlbildern zu akustisch vorgegebenen (genannten) Zahlen im Zahlenraum bis 20)

- Zählfertigkeiten (vorwärts und rückwärts zählen, Vorgänger und Nachfolger bestimmen)

- Erste Rechenfertigkeiten (im Umgang mit konkretem Material)



Mit Hilfe dieser vor Schulbeginn überprüften Vorläuferfähigkeiten konnten 60 % der rechenschwachen Kinder bereits im Vorschulalter korrekt identifiziert werden.



Untersuchungen von K. Krajewski (2003) und Weißhaupt, Peukert und Wirtz (2006) belegen, dass die mathematischen Fähigkeiten gegen Ende des Vorschulalters die späteren Rechenleistungen noch 4 Jahre später entscheidend beeinflussten.



Kinder mit geringem vorschulischem Wissen bleiben in der Regel „schlechte Rechner“, auch wenn sie natürlich durch den Unterricht dazulernen.


Da aber mathematische Kenntnisse systematisch aufeinander aufbauen, ist ein frühes Verständnis der Mathematik und mathematischer Vorläuferfähigkeiten für das spätere Lernen unabdingbar.



So erwerben Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnenlernen über Jahre hinweg kaum effektive Rechenstrategien. Ostad stellte bereits 1997 fest, dass schwache Siebtklässler noch zu 97% Zählstra­tegien beim Rechnen anwandten.



Wie Sie aus den auf den Seiten 4 – 12 ausführlich beschriebenen Aufgabenbereichen A – F erkennen können, decken die im Kurs durchgeführten Aktivitäten und das zur häuslichen Übung erstellte Material des Grundlagen- und Förderkurses „Freundschaft schließen mit den Zahlen 0 - 10“ alle notwendigen Aufgabenstellungen ab, mit denen Ihr Kind die mathematischen Vorläuferfähigkeiten, als Voraussetzung zum Aufbau schulischen Erfolges aufbauen kann.